CRIEARTENSINOAPRENDIZAGEM

Com Ciência
Episódio: “Matemática Discreta”

Resumo

A série Com Ciência aborda vários projetos científicos desenvolvidos por professores e

alunos em escolas públicas de ensino médio. O objetivo é debater sobre o papel da escola como ponte entre o conhecimento científico e a prática cotidiana. Neste episódio podemos conhecer um projeto no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, que trabalha com a Matemática Discreta e suas estreitas relações com algoritmos, computadores e resoluções de problemas de situações práticas, como a coleta de lixo. O vídeo tem duração de 53 minutos e é dividido em três partes, sendo uma delas a apresentação do projeto, com cenas na escola e depoimentos de alunos e professores. As demais são gravadas em estúdio e apresentam um diálogo entre três profissionais, a saber, Samuel Jurkiewicz (UFRJ), Maria Helena Cautiero (UFRJ), Helena Noronha Cury (PUC-RS) e o

entrevistador, Renato Farias. Eles discutem basicamente a importância da inclusão de projetos inovadores como este projeto, no ensino de Matemática, como resposta aos Parâmetros Curriculares Nacionais, que incentivam a presença de resolução de problemas reais e desenvolvimento de competências no processo de aprendizagem. Eles conversam também sobre as dificuldades e possíveis soluções para a execução de projetos dessa natureza e demonstram a

importância do estudo da Matemática Discreta para o entendimento dos problemas atuais e a busca de soluções pertinentes ao século XXI, na economia, saúde, urbanismo e muitas outras situações geradas pela contemporaneidade. Antes de se debruçar sobre esta ficha pedagógica, convido-o a explorar este vídeo de forma integral para que possa inteirar-se das discussões e fazer você mesmo uma reflexão sobre a importância de se pensar em novos conteúdos no ensino da Matemática.

Palavras-chave
Projeto Científico, matemática discreta, grafos e algoritmos.

Nível de ensino
Ensino Médio (2ª série/3ª série).

Componente curricular
Matemática.

Disciplinas relacionadas
Língua Portuguesa, Informática, Geografia.

Aspectos relevantes do vídeo. As cenas iniciais deste vídeo apresentam o projeto desenvolvido no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, com depoimentos de alunos e professores, explicações do professor Samuel Jurkiewicz (docente da Engenharia de Produção da COPPE/UFRJ), coordenador deste trabalho e trechos da interação com os alunos durante as aulas e execução das atividades.Esta parte é muito interessante para ser exibida aos alunos, pois sua linguagem aproxima e articula os conceitos de grafos e algoritmos, ao currículo de Matemática estudado no ensino médio. Os problemas tratados no trabalho do professor Samuel, utilizando grafos, tais como o problema das pontes de Konigsberg, do Caixeiro Viajante e do caminho mínimo, apontam para essa articulação, na medida em que oferecem situações de natureza combinatória que estão intimamente ligadas às questões tecnológicas atuais.

As outras partes do vídeo destinam-se aos professores de matemática. Elas são apresentadas no formato de diálogo entre os professores convidados e o entrevistador. Sugerimos que o professor interessado em aplicar esta ficha pedagógica assista ao vídeo integralmente antes de preparar as atividades propostas. É uma excelente oportunidade para refletir sobre os temas tratados e, se necessário, aprofundar-se nos conceitos de Matemática. Discreta, buscando entender como surgiram e como vêm sendo largamente utilizados em várias áreas de conhecimento. O vídeo, em suas três etapas, incentiva o professor à reflexão sobre novos conteúdos no ensino de Matemática que possam ser trabalhados de forma mais integrada com a realidade dos alunos, aproximando-os de situações reais e do conhecimento científico atual. A Matemática discreta tem resolvido, nas últimas décadas, nas áreas de computação, logística, tráfego, produção, telecomunicações, chegando até mesmo aos avanços da medicina e aos problemas econômicos do mercado financeiro. As atividades realizadas na unidade Humaitá, do Colégio Pedro II, em 2003, pelo professor Samuel, foram retomadas em 2006, na Unidade Centro do Pedro II, em parceria com o professor Ivail Muniz, docente do Pedro II. Os resultados desse trabalho, publicados em diversos congressos, culminou com uma dissertação de Mestrado: “Encontrando, Minimizando e Planejando percursos: Uma introdução à teoria dos grafos no Ensino Médio(Muniz, 2007)”, que pode ser acessada pelo link Grafos no Ensino Médio.

Duração da atividade
Quatro aulas.

O que o aluno poderá aprender com estas aulas:

Conhecer técnicas de resolução de problemas desenvolvendo capacidade de raciocínio abstrato (lógico matemático). Elaborar modelos matemáticos que representem certos problemas concretos. Identificar, em situações práticas, os conceitos matemáticos relacionados com a

Matemática Discreta, mais precisamente com uma introdução à teoria dos grafos. Fazer uso de comunicação adequada na elaboração de soluções em grupo. Desenvolver uma atitude positiva no processo de auto-formação e na busca de autonomia e investigação. Conhecimentos prévios que devem ser trabalhados pelo professor com o aluno. As quatro operações fundamentais. Estratégias e recursos da aula/descrição das atividades:

Caro (a) professor (a), apresentaremos algumas sugestões de atividades para dar suporte à exibição do episódio “Matemática Discreta”. Duas perguntas são importantes nesse momento:
1) o que é Matemática Discreta?
2) O que é um Grafo?

Chamamos de Matemática Discreta a um conjunto de conhecimentos matemáticos das áreas da criptografia, teoria dos números, programação linear, teoria dos Grafos, teoria dos códigos e teoria da computação. A palavra discreta é usada no sentido de “separados um do outro”, o oposto de contínua. Ou seja, é a parte da Matemática que lida com estruturas envolvendo essencialmente os números naturais, e suas propriedades. Assim, quando o

professor ensina análise combinatória, ensina Matemática Discreta; quando ensina problemas envolvendo união entre conjuntos, também ensina Matemática discreta. O importante, é claro, não é a terminologia, mas sim, entender que há problemas interessantes, atuais, de fácil entendimento, que estão diretamente relacionados aos conteúdos que ensinamos, mas que infelizmente não têm sido abordados nos ensinos fundamental e médio. Um grafo é uma estrutura formada por dois conjuntos: um conjunto de elementos (chamados de vértices, nós, bolinhas, etc) e um conjunto de arestas (linhas que ligam os vértices). O que é importa, em um Grafo é quem são os vértices e quem está ligado com quem. Por exemplo, considere um torneio entre 6 turmas de uma escola, e os seguintes jogos que já ocorreram.

e assista ao vivo, 24 horas.

.

Imagem do autor:

Antes de aplicar as atividades, apresentamos alguns materiais que poderão auxiliá-lo em
sua prática docente. Veja a seguir:

- Matemática Discreta e Ensino Médio – Samuel Jurkiewicz
- Grafos no Ensino Médio – Ivail Muniz Junior.
- Aplicações Práticas da Teoria dos Grafos – Álvaro Ostroski e Lucia Menoncini
- Teoria dos Grafos e Aplicações – Prof. Dario José Aloise e Prof. João Soriano da Cruz
- Três Problemas sobre Grafos – Luis Fernando de Osório Mello
- O problema das Quatro Cores
e assista ao vivo, 24 horas.

B
A
E
D
F
C

- O teorema das Quatro Cores – Lurdes Sousa
- O problema das pontes de Königsberg
- O problema das 7 pontes de Königsberg
- As pontes de Königsberg – Adérito Araújo
- Grafos Hamiltonianos
- Quatro Cores e Matemática – João Carlos Sampaio

Vídeos YouTube (em português de Portugal)
http://www.youtube.com/watch?v=ucMkruEYG9c
http://www.youtube.com/watch?v=wk9aeG54zzc&playnext=1&list=PL4873EE0DF1CB34
B2

E lembre-se, se houver necessidade, adapte as atividades segundo suas condições de
trabalho.

Aula 1

Iniciaremos estas atividades com a exibição de parte do vídeo da série Com Ciência (trecho 1:00 até 6:35) com o objetivo de sensibilizar os alunos em relação ao trabalho que será desenvolvido e que abordará alguns aspectos da Matemática Discreta. Converse com eles sobre alguns tópicos abordados neste trecho inicial do vídeo. Você pode perguntar a

eles:
ƒ Como se soluciona um problema?
ƒ Como um computador soluciona um problema?
ƒ A Matemática nos ajuda a resolver algum problema cotidiano?
ƒ Você já ouviu falar em algoritmos? O que são?

O que você acha que tem a ver coleta de lixo e matemática?

Em seguida, explique que a Matemática utilizada no dia-a-dia, nos bancos, nas organizações empresariais, na elaboração de rotas de avião, na logística urbana de entrega de serviços e mesmo na área de recursos tecnológicos para execução de exames médicos, é a que aprendemos na escola, mas também outra, denominada Matemática Discreta. Converse com eles sobre o que será proposto e desenvolvido nas próximas aulas: uma série de atividades aparentemente lúdicas, mas que revelam outros raciocínios presentes no nosso cotidiano. Reforce a importância de desenvolvermos nossos raciocínios abstratos e lógicos, pois eles serão exigidos no desenvolvimento de qualquer tarefa em nosso dia-a-dia, das mais simples às mais complexas. Esclareça que resolver problemas nem sempre é fazer contas, mas, muitas vezes, encontrar caminhos e escolher processos. Inicie com o problema das sete pontes de Königsberg falando um pouco sobre Leonard Euler, matemático suíço (1707 – 1783). Esta cidade é banhada pelo rio Pregel que em determinado local se ramifica e origina uma ilha chamada Kneiphof. Para ligar esta ilha às margens, foram construídas sete pontes. Conta-se que os habitantes de Königsberg sempre tentavam fazer um percurso passando por todas as pontes apenas uma vez, e voltar ao ponto de partida, mas não conseguiam. Euler buscou uma solução matemática para o problema, e sua solução é considerada a origem do chamamos hoje de Teoria dos Grafos. Você encontrará nos links acima e em outros disponíveis na Internet várias definições sobre essa teoria, mas basicamente é uma forma de representar situações por meio de dois conjuntos: Um conjunto de vértices (bolinhas) e um conjunto de arestas (linhas que ligam os vértices). O que importa é quem são os vértices e quem está ligado com quem. Partindo daí, um mundo se abre. Os vértices podem ser jogadores de um time de futebol, ou da turma 301, equipes de vendas, empresas concorrentes, antenas de transmissão, subestações de energia elétrica, computadores, robôs ou sensores, pontos de distribuição, etc. A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas. ligações podem representar grau de relacionamento, linhas de distribuição, estradas, rota aérea ou marítima, cabos de fibra ótica, parentesco, compatibilidade genética, grau de reatividade química, etc. Assim, a teoria dos grafos trabalha com problemas que envolvam elementos e a conexão entre eles. Isso lhe parece atual?

Geralmente, esses dois conjuntos são representados graficamente, o que não apenas facilita a modelagem e a compreensão do problema, como costuma despertar atenção e o interesse entre os alunos. Esta característica concreta favorece a aprendizagem da resolução de problemas e é largamente utilizada na construção de algoritmos computacionais. Este é o principal objetivo de se trabalhar com estes problemas clássicos, buscando em seu caráter lúdico a aproximação dos alunos em relação a outros conceitos matemáticos. A atividade será encontrar a solução para o problema (se ela existir...). Você pode utilizar qualquer arquivo disponível na internet como, por exemplo, O problema das 7 pontes de Königsberg para aprofundar-se nesse problema e sua solução.

Divida a turma em grupos de 4 a 5 alunos e distribua um gráfico das pontes de Königsberg como na figura (a). Utilize uma das imagens encontradas nos links acima ou de outros materiais sobre o assunto que você tenha acesso. Faça uma imagem com tamanho adequado para que seja colocado no meio de cada grupo e, peça para eles organizarem a solução numa folha a parte, fazendo linhas que representem os percursos e bolinhas, para representarem os locais. Exemplifique desenhando na lousa algo parecido com a figura (b) para que eles entendam claramente o que está sendo solicitado.

Após a apresentação das respostas encontradas pelos grupos (ou da conclusão de que não há solução), converse com os alunos sobre as idéias de Euler e questione-os sobrepossíveis alterações no gráfico para ser possível a determinação do percurso desejado, ou seja, da solução. Apresente a eles o questionamento feito por Euler e sua conclusão de que não seria possível resolver este problema. Ou seja, mostre que os habitantes da cidade nunca conseguiriam fazer um percurso passando por todas as pontes exatamente uma vez, a menos que houvesse um número par de pontes partindo de cada ponto (A, B, C, D) que representam a ilha e as margens. O professor pode propor outros grafos para que eles tentem descobrir quando é possível realizar tal percurso. Há uma série de atividades e o relato de uma experiência no endereço Grafos no Ensino Médio (Ivail Muniz, 2007). Finalize a aula discutindo com eles o que significa encontrar uma solução para um

problema. Você pode perguntar: ƒ Existe sempre uma solução para um determinado problema?Quando existir, sempre é única?

ƒ O que significa encontrar uma resposta para um problema?
ƒ O que quer dizer solução ótima?
ƒ O que precisamos fazer para resolver um problema?
e assista ao vivo, 24 horas.

Este questionamento será retomado na aula seguinte.

A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo.
Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da
Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e
digital banda C Vert /Freq. 3965
Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas.

Aula 2

Levando em consideração o questionamento provocado na aula anterior, iniciaremos com uma roda de conversa para organizar com os alunos a construção do conceito de algoritmo. Faça uma breve reconstituição utilizando novamente as perguntas feitas no final dessa aula. Partiremos da elaboração das etapas necessárias para a solução de um problema. Você pode utilizar o link (http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A842960 - utilize o tradutor do Google se achar necessário) ou qualquer outro material que desejar, procurando contemplar as etapas mais importantes. A saber:

ƒDefinir claramente a tarefa. ƒ Definir quais ações estão envolvidas na tarefa. Definir a ordem dessas ações Certificar-se que as ações estão claras. Conferir se está faltando algo. ƒ Analisar os resultados.

Em seguida, proponha um jogo que consiste em ajudar um vendedor na construção de uma rota que inclua várias cidades, como pode ser observado na figura abaixo. O trabalho do vendedor requer que ele visite cada cidade pessoalmente. É possível, na figura abaixo, estabelecer uma viagem circular (que o leve ao ponto de partida) de forma que ele visite cada cidade exatamente uma vez? Este problema foi desenvolvido por William R. Hamilton, matemático irlandês (1805-1865). O ciclo "hamiltoniano", como ficou conhecido, envolve um dodecaedro (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces) onde cada vértice é o nome de uma.

1856 -“O Problema dos Ciclo Hamiltoniano” (William R. Hamilton)

Divida a turma em grupos de 4 a 5 alunos e disponibilize este grafo para que os alunos busquem a solução do jogo. Estabeleça um ponto de partida. Uma das soluções pode ser visualizada na figura abaixo. Para finalizar, questione os alunos sobre a relevância deste jogo na vida diária. Você

pode perguntar: ƒComo você relacionaria este jogo com uma situação real? E assista ao vivo, 24 horas. Onde podemos encontrar situações similares com a descrita neste jogo? A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas. Qual a importância se de encontrar um percurso “enxuto”?

Converse com os alunos sobre a situação apresentada no vídeo em relação aos postos de recolhimento de pilhas e das dificuldades que um prefeito encontraria para organizar esses pontos em sua cidade. Se preferir exiba novamente a parte do vídeo da série Com Ciência (trecho 1:00 até 6:35) onde algumas dessas questões são apresentadas. Certifique-se que os alunos compreendam a importância de se organizar um bom trajeto para a entrega de serviços com o objetivo de baixar os custos e levar menos tempo para realizá-lo. Discuta a questão ambiental, como reduzir as emissões de poluentes, ficar menos tempo com os transportes no trânsito. Deixe claro que a Matemática pode ajudar um profissional a otimizar caminhos e processos, em diferentes situações e em diversas áreas de trabalho. Utilizando a ideia de Grafos, um profissional pode concretizar a solução de um problema e representá-lo de forma mais organizada. Aproveite para valorizar o raciocínio matemático empregado na solução destes problemas que estão sendo apresentados nestas atividades, de forma que os alunos possam ampliar suas visões sobre o conhecimento científico, principalmente no que a tange a Matemática.

Aula 3

Inicie esta aula exibindo outro trecho do vídeo (trecho 17:00 até 18:40) quando o Prof. Samuel Jurkiewicz explica o que significa Matemática Discreta e o que abrange esse estudo citando exemplos cotidianos. Em seguida, proponha aos alunos o seguinte problema: colorir um mapa, com o menor número de cores possível (por exemplo, o do Brasil), de forma que quaisquer estados contíguos tenham cores diferentes.

Distribua os mapas do Brasil, em branco, e pedaços de papel coloridos que representarão o ato de colorir os estados, para os grupos de alunos. Sabe-se que quatro cores são suficientes para realizarmos esta tarefa. Ao término, procure construir com os alunos um grafo como utilizados nos exercícios anteriores (pontes) de Königsberg e rotas de viagem do vendedor viajante) que represente o mapa colorido. Faça isso na lousa iniciando por algum estado e questionando-os sobre como representar as linhas e as bolinhas. Vá dando algumas dicas, colocando sobre os estados algumas bolinhas coloridas e perguntando como deve ser representadas na lousa. O grafo deve ficar parecido com o da figura abaixo. Antes do término da aula, contextualize a atividade apresentando a eles as origens desse problema, dizendo que esta questão surgiu em 1852 quando De Morgan, professor do University College em Londres recebeu um aluno chamado Frederick Guthrie com o

enunciado do Problema das Quatro Cores. O autor da questão tinha sido seu irmão, Francis,

quando seguindo suas obrigações escolares, teve que colorir um mapa da Inglaterra. Você pode perguntar aos alunos: e assista ao vivo, 24 horas.

ƒ Onde são encontradas aplicações da teoria das quatro cores hoje em dia? A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas. O professor pode obter informações sobre esse problema em (Grafos no Ensino Médio -

Muniz, 2007). Leve-os a considerar as utilizações desse teorema em gráficos de tomografia, por

exemplo. Não é necessário aprofundar o Teorema das Quatro Cores com alunos do ensino médio visto que o desenvolvimento matemático daqui para frente vai se tornando mais complexo. O importante é fazê-los refletir sobre as possibilidades desse problema e, principalmente, estimulá-los a encontrarem outras aplicações para essa questão, como por exemplo, uma situação bastante próxima deles: a construção do quadro de aulas.

Aula 4

Para finalizar esta ficha pedagógica, propomos que os alunos construam um guia turístico a ser utilizado no período da Copa Mundial de Futebol, em 2014, elegendo seis cidades onde ocorrerão os jogos e considerando que: - o roteiro precisa ser econômico; - a viagem deve ter a duração do período da copa;

- o turista percorra todas as cidades passando uma única vez em cada uma delas. Organize a divisão da turma em grupos de 3 a 4 alunos. Cada grupo deve pesquisar sobre as cidades escolhidas: distâncias do ponto de partida, aspectos culturais e ambientais, além de coletar fotos dos locais turísticos. Eles devem também buscar informações sobre os vôos existentes e/ou trajetos rodoviários, uma vez que o turista pode ser orientado a utilizar-se de diferentes meios de transporte. Após os dados levantados e organizados, cada grupo utilizará um software gráfico, por exemplo, Gimp (software free) para construir o grafo correspondente ao roteiro de solução. Assim, cada grupo terá uma representação gráfica contendo dados de cada cidade, distâncias, o roteiro destacado, os horários. A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas.

estimados de viagem, e os dias para a execução do trajeto. Este material poderá ser disponibilizado em algum mural da escola. Se preferir, faça esta atividade com materiais de papel, sem a utilização do software. Nesse caso, oriente os alunos a construírem um painel de papelão que poderá ser obtido com a doação de caixas usadas pelos mercados da região. O grafo pode ser desenhado com barbantes colados e os dados registrados com canetas coloridas. Os painéis podem ser fixados em locais visíveis pela comunidade em geral. Reforce a necessidade de colocarem os créditos do trabalho ao final do mesmo, deixando clara a importância da autoria nos processos criativos.

Questões para discussão:
Construir um quebra-cabeça dos cubos valendo-se das explicações no artigo A Teoria dos Grafos na Solução de Quebra-cabeças. Construir algoritmos para a realização de tarefas caseiras (arrumar a cama, fazer café, consertar o chuveiro). Organizar uma tabela de datas e horários para as provas finais. (texto de apoio: Aplicações Práticas da Teoria dos Grafos – Álvaro Ostroski e Lucia Menoncini)

Bibliografia Complementar
Pozo, J. I. A solução de problemas: aprender para resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre, ArtMed, (1998). Cadwell, J.H. Topics in Recreational Mathematics. Cambridge University Press, New York, 1980.

Lovász, J.; Vesztergombi, K. Matemática Discreta. Springer, New York Inc., 2003. Traduzido pela SBM. A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas.

O vídeo encontra-se no link a seguir:
COM CIÊNCIA – Matemática Discreta
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4990

Consultora: Maria Isabel Porazza Mendes

Com Ciência
Episódio: “Matemática Discreta”

Resumo

A série Com Ciência aborda vários projetos científicos desenvolvidos por professores e alunos em escolas públicas de ensino médio. O objetivo é debater sobre o papel da escola como ponte entre o conhecimento científico e a prática cotidiana. Neste episódio podemos conhecer um projeto no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, que trabalha com a Matemática Discreta e suas estreitas relações com algoritmos, computadores e resoluções de problemas de situações práticas, como a coleta de lixo. O vídeo tem duração de 53 minutos e é dividido em três partes, sendo uma delas a apresentação do projeto, com cenas na escola e depoimentos de alunos e professores. As demais são gravadas em estúdio e apresentam um diálogo entre três profissionais, a saber, Samuel Jurkiewicz (UFRJ), Maria Helena Cautiero (UFRJ), Helena Noronha Cury (PUC-RS) e o entrevistador, Renato Farias. Eles discutem basicamente a importância da inclusão de projetos inovadores como este projeto, no ensino de Matemática, como resposta aos Parâmetros Curriculares Nacionais, que incentivam a presença de resolução de problemas reais e desenvolvimento de competências no processo de aprendizagem. Eles conversam também sobre as dificuldades e possíveis soluções para a execução de projetos dessa natureza e demonstram a

As cenas iniciais deste vídeo apresentam o projeto desenvolvido no Colégio Pedro II, no Rio de Janeiro, com depoimentos de alunos e professores, explicações do professor Samuel Jurkiewicz (docente da Engenharia de Produção da COPPE/UFRJ), coordenador deste trabalho e trechos da interação com os alunos durante as aulas e execução das atividades. Esta primeira parte é muito interessante para ser exibida aos alunos, pois sua linguagem aproxima e articula os conceitos de grafos e algoritmos, ao currículo de Matemática estudado no ensino médio. Os problemas tratados no trabalho do professor Samuel, utilizando grafos, tais como o problema das pontes de Konigsberg, do Caixeiro Viajante e do caminho mínimo, apontam para essa articulação, na medida em que oferecem situações de natureza combinatória que estão intimamente ligadas às questões tecnológicas atuais.

Duração da atividade
Quatro aulas.

investigação.

Conhecimentos prévios que devem ser trabalhados pelo professor com o
aluno
As quatro operações fundamentais.

Estratégias e recursos da aula/descrição das atividades Caro (a) professor (a),apresentaremos algumas sugestões de atividades para dar suporte à exibição do episódio “Matemática Discreta”. Duas perguntas são importantes nesse momento:

1) o que é Matemática Discreta?
2) O que é um Grafo?

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Imagem do autor

Antes de aplicar as atividades, apresentamos alguns materiais que poderão auxiliá-lo em
sua prática docente. Veja a seguir:

- Matemática Discreta e Ensino Médio – Samuel Jurkiewicz
- Grafos no Ensino Médio – Ivail Muniz Junior.
- Aplicações Práticas da Teoria dos Grafos – Álvaro Ostroski e Lucia Menoncini
- Teoria dos Grafos e Aplicações – Prof. Dario José Aloise e Prof. João Soriano da Cruz
- Três Problemas sobre Grafos – Luis Fernando de Osório Mello
- O problema das Quatro Cores
e assista ao vivo, 24 horas.

B
A
E
D
F
C

eles:
ƒ Como se soluciona um problema?
ƒ Como um computador soluciona um problema?
ƒ A Matemática nos ajuda a resolver algum problema cotidiano?
ƒ Você já ouviu falar em algoritmos? O que são?

ƒO que você acha que tem a ver coleta de lixo e matemática? Em seguida, explique que a Matemática utilizada no dia-a-dia, nos bancos, nas organizações empresariais, na elaboração de rotas de avião, na logística urbana de entrega de serviços e mesmo na área de recursos tecnológicos para execução de exames médicos, é a que aprendemos na escola, mas também outra, denominada Matemática Discreta. Converse com eles sobre o que será proposto e desenvolvido nas próximas aulas: uma série de atividades aparentemente lúdicas, mas que revelam outros raciocínios presentes no nosso cotidiano. Reforce a importância de desenvolvermos nossos raciocínios abstratos e lógicos, pois eles serão exigidos no desenvolvimento de qualquer tarefa em nosso dia-a-dia, das mais simples às mais complexas. Esclareça que resolver problemas nem sempre é fazer contas, mas, muitas vezes, encontrar caminhos e escolher processos. Inicie com o problema das sete pontes de Königsberg falando um pouco sobre Leonard Euler, matemático suíço (1707 – 1783). Esta cidade é banhada pelo rio Pregel que em determinado local se ramifica e origina uma ilha chamada Kneiphof. Para ligar esta ilha às margens, foram construídas sete pontes. Conta-se que os habitantes de Königsberg sempre tentavam fazer um percurso passando por todas as pontes apenas uma vez, e voltar ao ponto de partida, mas não conseguiam. Euler buscou uma solução matemática para o problema, e sua solução é considerada a origem do chamamos hoje de Teoria dos Grafos. Você encontrará nos links acima e em outros disponíveis na Internet várias definições sobre essa teoria, mas basicamente é uma forma de representar situações por meio de dois conjuntos: Um conjunto de vértices (bolinhas) e um conjunto de arestas (linhas que ligam os vértices). O que importa é quem são os vértices e quem está ligado com quem. Partindo daí, um mundo se abre. Os vértices podem ser jogadores de um time de futebol, ou da turma 301, equipes de vendas, empresas concorrentes, antenas de transmissão, subestações de energia elétrica, computadores, robôs ou sensores, pontos de distribuição, etc. As

A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br e assista ao vivo, 24 horas. Ligações podem representar grau de relacionamento, linhas de distribuição, estradas, rota aérea ou marítima, cabos de fibra ótica, parentesco, compatibilidade genética, grau de reatividade química, etc. Assim, a teoria dos grafos trabalha com problemas que envolvam elementos e a conexão entre eles. Isso lhe parece atual? Geralmente, esses dois conjuntos são representados graficamente, o que não apenas facilita a modelagem e a compreensão do problema, como costuma despertar atenção e o interesse entre os alunos. Esta característica concreta favorece a aprendizagem da resolução de problemas e é largamente utilizada na construção de algoritmos computacionais. Este é o principal objetivo de se trabalhar com estes problemas clássicos, buscando em seu caráter lúdico a aproximação dos alunos em relação a outros conceitos matemáticos. A atividade será encontrar a solução para o problema (se ela existir...). Você pode utilizar qualquer arquivo disponível na internet como, por exemplo, O problema das 7

pontes de Königsberg para aprofundar-se nesse problema e sua solução. Divida a turma em grupos de 4 a 5 alunos e distribua um gráfico das pontes de Königsberg como na figura (a). Utilize uma das imagens encontradas nos links acima ou de outros materiais sobre o assunto que você tenha acesso. Faça uma imagem com tamanho adequado para que seja colocado no meio de cada grupo e, peça para eles organizarem a solução numa folha a parte, fazendo linhas que representem os percursos e bolinhas, para representarem os locais. Exemplifique desenhando na lousa algo parecido com a figura (b) para que eles entendam claramente o que está sendo solicitado. A TV Escola leva até a sua sala de aula os melhores documentários e séries de conteúdo educativo. Acompanhe nossa programação no Canal 123 da Embratel, no Canal 112 da SKY, no Canal 694 da Telefônica TV Digital ou gratuitamente sintonizando sua antena parabólica: analógica - Hor /Freq. 3770 e digital banda C Vert /Freq. 3965. Na internet acesse http://tvescola.mec.gov.br

Após a apresentação das respostas encontradas pelos grupos (ou da conclusão de que não há solução), converse com os alunos sobre as idéias de Euler e questione-os sobre possíveis alterações no gráfico para ser possível a determinação do percurso desejado, ou seja, da solução. Apresente a eles o questionamento feito por Euler e sua conclusão de que não seria possível resolver este problema. Ou seja, mostre que os habitantes da cidade nunca conseguiriam fazer um percurso passando por todas as pontes exatamente uma vez, a menos que houvesse um número par de pontes partindo de cada ponto (A, B, C, D) que representam a ilha e as margens. O professor pode propor outros grafos para que eles tentem descobrir quando é possível realizar tal percurso. Há uma série de atividades e o relato de uma experiência no endereço Grafos no Ensino Médio (Ivail Muniz, 2007). Finalize a aula discutindo com eles o que significa encontrar uma solução para um problema. Você pode perguntar:

ƒ Existe sempre uma solução para um determinado problema? Quando existir,
sempre é única?
ƒ O que significa encontrar uma resposta para um problema?
ƒ O que quer dizer solução ótima?
ƒ O que precisamos fazer para resolver um problema?
e assista ao vivo, 24 horas.

Este questionamento será retomado na aula seguinte.

Aula 2

Partiremos da elaboração das etapas necessárias para a solução de um problema. Você pode utilizar o link (http://www.bbc.co.uk/dna/h2g2/A842960 - utilize o tradutor do Google se achar necessário) ou qualquer outro material que desejar, procurando contemplar as etapas mais importantes. A saber:

ƒ Definir claramente a tarefa.
ƒ Definir quais ações estão envolvidas na tarefa.
ƒ Definir a ordem dessas ações.
ƒ Certificar-se que as ações estão claras.
ƒ Conferir se está faltando algo.
ƒ Analisar os resultados.

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cidade conhecida. A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja, o
Grafo representa os vértices e arestas de um dodecaedro.

1856 -“O Problema dos Ciclo Hamiltoniano” (William R. Hamilton)

Divida a turma em grupos de 4 a 5 alunos e disponibilize este grafo para que os alunos busquem a solução do jogo. Estabeleça um ponto de partida. Uma das soluções pode ser visualizada na figura abaixo.

Para finalizar, questione os alunos sobre a relevância deste jogo na vida diária. Você
pode perguntar:
ƒ Como você relacionaria este jogo com uma situação real?
e assista ao vivo, 24 horas.

ƒ Onde podemos encontrar situações similares com a descrita neste jogo?

ƒ Qual a importância se de encontrar um percurso “enxuto”?

Aula 3

Distribua os mapas do Brasil, em branco, e pedaços de papel coloridos que representarão o ato de colorir os estados, para os grupos de alunos. Sabe-se que quatro cores são suficientes para realizarmos esta tarefa. Ao término, procure construir com os alunos um grafo como utilizados nos exercícios anteriores (pontes de Königsberg e rotas de viagem do vendedor viajante) que represente o mapa colorido. Faça isso na lousa iniciando por algum estado e questionando-os sobre como representar as linhas e as bolinhas. Vá dando algumas dicas, colocando sobre os estados algumas bolinhas coloridas e perguntando como deve ser representadas na lousa. O grafo deve ficar parecido com o da figura abaixo.

Antes do término da aula, contextualize a atividade apresentando a eles as origens desse problema, dizendo que esta questão surgiu em 1852 quando De Morgan, professor do University College em Londres recebeu um aluno chamado Frederick Guthrie com o enunciado do Problema das Quatro Cores. O autor da questão tinha sido seu irmão, Francis, quando seguindo suas obrigações escolares, teve que colorir um mapa da Inglaterra. Você pode perguntar aos alunos:

e assista ao vivo, 24 horas.

ƒ Onde são encontradas aplicações da teoria das quatro cores hoje em dia?

complexo. O importante é fazê-los refletir sobre as possibilidades desse problema e, principalmente, estimulá-los a encontrarem outras aplicações para essa questão, como por exemplo, uma situação bastante próxima deles: a construção do quadro de aulas.

Aula 4

- o roteiro precisa ser econômico;
- a viagem deve ter a duração do período da copa;
- o turista percorra todas as cidades passando uma única vez em cada uma delas.

Organize a divisão da turma em grupos de 3 a 4 alunos. Cada grupo deve pesquisar sobre as cidades escolhidas: distâncias do ponto de partida, aspectos culturais e ambientais, além de coletar fotos dos locais turísticos. Eles devem também buscar informações sobre os vôos existentes e/ou trajetos rodoviários, uma vez que o turista pode ser orientado a utilizar-se de diferentes meios de transporte. Após os dados levantados e organizados, cada grupo utilizará um software gráfico, por exemplo, Gimp (software free) para construir o grafo correspondente ao roteiro de solução. Assim, cada grupo terá uma representação gráfica contendo dados de cada cidade, distâncias, o roteiro destacado, os horários

Questões para discussão

Construir um quebra-cabeça dos cubos valendo-se das explicações no artigo A Teoria dos Grafos na Solução de Quebra-cabeças. Construir algoritmos para a realização de tarefas caseiras (arrumar a cama, fazer café, consertar o chuveiro). Organizar uma tabela de datas e horários para as provas finais. (texto de apoio: Aplicações. Práticas da Teoria dos Grafos – Álvaro Ostroski e Lucia Menoncini)

Bibliografia Complementar
Pozo, J. I. A solução de problemas: aprender para resolver, resolver para aprender. Porto
Alegre, ArtMed, (1998).
Cadwell, J.H. Topics in Recreational Mathematics. Cambridge University Press, New
York, 1980.

Lovász, J.; Vesztergombi, K. Matemática Discreta. Springer, New York Inc., 2003.
Traduzido pela SBM.

O vídeo encontra-se no link a seguir:
COM CIÊNCIA – Matemática Discreta
http://tvescola.mec.gov.br/index.php?option=com_zoo&view=item&item_id=4990
Consultora: Maria Isabel Porazza Mendes

Acessado em 04/05/2014

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